La version numrique du sujet fournie en fichier texte (format *.txt) doit tre ouverte en tant que braille informatique. Elle sera affiche en braille 6 points. Lapplication  bloc-notes  des ordinateurs courants, ou des logiciels spcialiss peuvent tre utiliss.  dfaut, reportez-vous  la version en papier. Le candidat doit rdiger ses rponses sur un second fichier, et peut demander  un assistant ou  un secrtaire de recopier sa production de faon manuscrite sur une copie. Un fichier en format *.pdf est galement fourni. La page du document originale est indique par  PO 1  pour  page originale n1 . Les rfrences aux pages braille (sommaire, rfrences en cours de sujet) font rfrence au sujet braille imprim. 
 po `1
braille intgral
`24-matj`1an1
baccalaurat gnral
preuve d'enseignement de spcialit
session `2024
mathmatiques
jour `1
dure de l'preuve:
`4 heures
braille intgral
l'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autoris.
l'usage de la calculatrice sans mmoire "type collge" est autoris.
ds que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu'il est complet. le sujet comporte `5 pages, numrotes de `1/5  `5/5 dans la version originale et `18 pages `!1 planche tactile en fin de volume dans la version en braille intgral. la qualit de la rdaction, la clart et la prcision des raisonnements seront prises en compte dans l'apprciation de la copie. les traces de recherche, m2me incompltes ou infructueuses, seront valorises.
sommaire exercice `1 `4
exercice `2 `9
exercice `3 `13
exercice `4 `16
po `2
exercice `1 (`5 points)
un jeu vido rcompense par un objet tir au sort les joueurs ayant remport un dfi. l'objet tir peut 2tre "commun" ou "rare". deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des pes et des boucliers.
les concepteurs du jeu vido ont prvu que:
-- la probabilit de tirer un objet rare est de `7;
-- si on tire un objet rare, la probabilit que ce soit une pe est de `80;
-- si on tire un objet commun, la probabilit que ce soit une pe est de `40.
les parties a et b sont indpendantes.
partie a
un joueur vient de remporter un dfi et tire au sort un objet.
on note:
-- r l'vnement "le joueur tire un objet rare";
-- e l'vnement "le joueur tire une pe";
-- `:r et `:e les vnements contraires des vnements r et e.
`1. dresser un arbre pondr modlisant la situation, puis calculer `p(r!e).
`;une feuille plastique est  disposition du candidat brailliste en fin de volume pour cet exercice.
'
`2. calculer la probabilit de tirer une pe.
`3. le joueur a tir une pe. dterminer la probabilit que ce soit un objet rare. arrondir le rsultat au millime.
partie b
un joueur remporte `30 dfis.
on note x la variable alatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient aprs avoir remport `30 dfis. les tirages successifs sont considrs comme indpendants.
`1. dterminer, en justifiant, la loi de probabilit suivie par la variable alatoire x. prciser ses paramtres, ainsi que son esprance.
`2. dterminer `p(x26). arrondir le rsultat au millime.
`3. dterminer la plus grande valeur de `k telle que `p(x@k)@0,5. interprter le rsultat dans le contexte de l'exercice.
`4. les dveloppeurs du jeu vido veulent proposer aux joueurs d'acheter un "ticket d'or" qui permet de tirer n objets. la probabilit de tirer un objet rare reste de `7. les dveloppeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilit qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces n tirages soit suprieure ou gale  `0,95.
dterminer le nombre minimum d'objets  tirer pour atteindre cet objectif. on veillera  dtailler la dmarche mise en 9uvre.
po `3
exercice `2 (`4 points)
cet exercice est un questionnaire  choix multiple.
pour chaque question, une seule des quatre rponses proposes est exacte. le candidat indiquera sur sa copie le numro de la question et la rponse choisie. aucune justification n'est demande. une rponse fausse, une rponse multiple ou l'absence de rponse  une question ne rapporte ni n'enlve de point.
les cinq questions sont indpendantes.
l'espace est rapport  un repre orthonorm `(o;:i,:j,:k)
`1. on considre les points `a(1;0;3) et `b(4;1;0).
une reprsentation paramtrique de la droite `(ab) est:
a. (x"3!t
(y"1
(z"-3!3t
avec `t1r
b. (x"1!4t
(y"t
(z"3
avec `t1r
c. (x"1!3t
(y"t
(z"3-3t
avec `t1r
d. (x"4!t
(y"1
(z"3-3t
avec `t1r
on considre la droite `(d) de reprsentation paramtrique
(x"3!4t
(y"6t
(z"4-2t
avec `t1r
`2. parmi les points suivants, lequel appartient  la droite `(d)?
a. `m(7;6;6)
b. `n(3;6;4)
c. `p(4;6;-2)
d. `r(-3;-9;7)
`3. on considre la droite `(d') de reprsentation paramtrique
(x"-2!3k
(y"-1-2k
(z"1!k
avec `k1r
les droites `(d) et `(d') sont: 
a. scantes
b. non coplanaires
c. parallles
d. confondues
`4. on considre le plan `(p) passant par le point `i(2;1;0) et perpendiculaire  la droite `(d). une quation du plan `(p) est:
a. `2x!3y-z-7"0
b. `-x!y-4z!1"0
c. `4x!6y-2z!9"0
d. `2x!y!1"0
po `4
exercice `3 (`5 points) le but de cet exercice est d'tudier la fonction `f dfinie sur l'intervalle `0;!c par:
`'f(x)"xln(x^2)-1/x;
partie a: lectures graphiques
on a trac sur la planche tactile no `1 la courbe reprsentative `(c?f) de la fonction `f, ainsi que la droite `(t), tangente  la courbe `(c?f) au point a de coordonnes `(1;-1). cette tangente passe galement par le point `b(0;-4).
`1. lire graphiquement `f'(1) et donner l'quation rduite de la tangente `(t).
`2. donner les intervalles sur lesquels la fonction `f semble convexe ou concave.
que semble reprsenter le point a pour la courbe `(c?f)?
partie b: tude analytique
`1. dterminer, en justifiant, la limite de `f en `!c, puis sa limite en `0.
`2. on admet que la fonction `f est deux fois drivable sur l'intervalle `0;!c.
a. dterminer `f'(x) pour `x appartenant  l'intervalle `0;!c.
b. montrer que pour tout `x appartenant  l'intervalle `0;!c,
`'f''(x)"2(x!1)(x-1);/x^3
`3. a. tudier la convexit de la fonction `f sur l'intervalle `0;!c.
b. tudier les variations de la fonction `f', puis le signe de `f'(x) pour `x appartenant  l'intervalle `0;!c.
en dduire le sens de variation de la fonction `f sur l'intervalle `0;!c.
`4. a. montrer que l'quation `f(x)"0 admet une unique solution `a sur l'intervalle `0;!c.
b. donner la valeur arrondie au centime de `a et montrer que `a vrifie: `a^2"exp(1/a^2)
po `5
exercice `4 (`6 points)
pour tout entier naturel `n, on considre les intgrales suivantes:
`'i?n"?0^pe^-nx;sin(x)dx
`'j?n"?0^pe^-nx;cos(x)dx
`1. calculer `i?0.
`2. a. justifier que, pour tout entier naturel `n, on a `i?n@0.
b. montrer que, pour tout entier naturel `n, on a `'i?n!1;-i?n20.
c. dduire des deux questions prcdentes que la suite `(i?n) converge.
`3. a. montrer que, pour tout entier naturel `n, on a:
`'i?n2?0^pe^-nx;dx
b. montrer que, pour tout entier naturel `n@1, on a:
`'?0^pe^-nx;dx
"1-e^-np;;/n
c. dduire des deux questions prcdentes la limite de la suite `(i?n).
`4. a. en intgrant par parties l'intgrale `(i?n) de deux faons diffrentes, tablir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel `n@1:
`'i?n"1!e^-np;-nj?n
et `'i?n"1/n;j?n
b. en dduire que, pour tout entier naturel `n@1, on a
`'i?n"1!e^-np;;/n^2!1;.
`5. on souhaite obtenir le rang `n  partir duquel la suite `(i?n) devient infrieure  `0,1. recopier et complter la cinquime ligne du script python ci-dessous avec la commande approprie.
""""""""""""""""""""""""""""""
`1 from math import *
`2 def seuil():
`3 `n"0
`4 `i"2
`5 `-'
`6 `n"n!1
`7 `i"(1!exp(-n*pi))
/(n*n!1)
`8 return `n
gggggggggggggggggggggggggggggg

